這篇文章推導(dǎo)了偶數(shù)階勒讓德濾波器(L濾波器, Pupoulis濾波器)的設(shè)計(jì)，方法幾乎和Pupoulis的一模一樣，但是作為Pupoulis濾波器的補(bǔ)充是非常有必要介紹本篇論文的。

Optimum Filters of Even Orders with Monotonic Response*

偶數(shù)階單調(diào)響應(yīng)的最優(yōu)濾波器*

MINORU FUKADA

自從收到本文后，Pupoulis關(guān)于同一問題的類似解決方案已經(jīng)作為一封給編輯的信件出現(xiàn)在IRE的會(huì)議記錄中。盡管Fukada在提交他的論文時(shí)并不知道這個(gè)先前的公開信息，但是因?yàn)镕ukada的處理包含了更多的細(xì)節(jié)并且包括了計(jì)算響應(yīng)曲線，我們決定它仍然值得發(fā)表。—編輯

引言

PAPOULIS開發(fā)了一類新的濾波器（濾波器），在單調(diào)遞減的頻響下具有最大截止率。這類濾波器在阻帶中的衰減比同階的Butterworth濾波器更大，但由于其頻率響應(yīng)中的單調(diào)性質(zhì)，它仍然保持了尚可的時(shí)域響應(yīng)。Papoulis給出了奇數(shù)階(odd degree)最優(yōu)多項(xiàng)式的公式，從中推導(dǎo)出這些濾波器。本文的目的是給出偶數(shù)階(even degree)最優(yōu)多項(xiàng)式的一般公式，并表明從這些多項(xiàng)式中，濾波器實(shí)際上是可以被實(shí)現(xiàn)出來的。

偶數(shù)階的濾波器

一個(gè)沒有有限零點(diǎn)的濾波器的幅度特性可以寫成以下形式：

其中是一個(gè)在上的階數(shù)為，且有實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式。如果隨著的增加而單調(diào)增加，那么的單調(diào)性要求就可以被滿足。因此，濾波器的問題是確定一個(gè)在上的階數(shù)為的正遞增多項(xiàng)式，使得在點(diǎn)的斜率最大。數(shù)學(xué)上，我們可以通過以下等式來定義這個(gè)問題:

以及是最大的。

對于奇數(shù)的，解已經(jīng)由Papoulis給出；因此，下面的討論將僅限于偶數(shù)的

其中，由在截止頻率處的指定衰減所定。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以通過常規(guī)方法確定。設(shè)為幅度等于的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。然后我們有

從中我們獲得了左半平面極點(diǎn)的。參考圖3的情況，我們有

從這個(gè)關(guān)系式我們得到，并將連分?jǐn)?shù)展開，我們獲得無耗梯形網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。在下面的例子中，我們將取，使得在處產(chǎn)生的衰減。

特殊情況

由公式(7)我們得到

因此，由公式(6)我們得到

這表明二階的濾波器退化為濾波器(譯注：這里指Butterworth濾波器)。

由公式(8)和公式(6)我們得到，

多項(xiàng)式及其結(jié)果的幅頻響應(yīng)分別在圖1和圖2中繪制。的極點(diǎn)由下式給出

從中我們得到

的極點(diǎn)和梯形網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)如圖3所示。

因此，

多項(xiàng)式及其結(jié)果的幅度響應(yīng)分別在圖4和圖5中繪制。的極點(diǎn)由下式給出

從中我們得到

其中，

的極點(diǎn)和梯形網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)如圖6所示。

到

結(jié)合Papoulis的結(jié)果和這里提供的結(jié)果，我們可以得到所有多項(xiàng)式的表格。表1列出了時(shí)的所有多項(xiàng)式，以及作為一個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)。

表 1

結(jié)論

在上述處理過程中，我們給出了偶次最優(yōu)多項(xiàng)式的表達(dá)式；然而，這些網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極值并未以解析形式確定。在綜合步驟中，確定極值所需的數(shù)值計(jì)算是冗繁的，因此，找到這個(gè)問題的答案十分重要。

附錄

要確定多項(xiàng)式在(3)和(4)中的形式，我們需要解決以下問題?？紤]偶次多項(xiàng)式，它的次數(shù)，滿足

在這里需要確定多項(xiàng)式，其斜率

最大。有

我們得到

由于非負(fù)，其在區(qū)間內(nèi)的所有根都是重根。因此，可以將其寫成如下形式

其中是一個(gè)沒有內(nèi)部根的奇次多項(xiàng)式，

如果不是線性形式，那么它的次數(shù)至少是三。然而，可以證明這是不可能的。因此，應(yīng)為線性形式，而且從(17)很明顯，中的常數(shù)項(xiàng)是正的，可以被認(rèn)為是1。然后，

其中

由于會(huì)導(dǎo)致，所以可以排除。如果，我們可以選擇足夠小的，使得

同時(shí)

我們得到

多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)

在點(diǎn)處的值將由下式給出：

這是不可能的。因此，或

因此

為了確定多項(xiàng)式的次數(shù)，我們首先將其展開成第一類Legendre多項(xiàng)式的級數(shù)，

現(xiàn)在，(13)和(14)變?yōu)?/p>

和

形成一個(gè)函數(shù)，滿足

然后我們的問題就是確定滿足以下等式的(譯注：這里使用了拉格朗日乘數(shù)法[method of Lagrange multipliers]求約束條件下的極值問題)。

因此，

其中

和

在上述的計(jì)算中，我們使用了Legendre多項(xiàng)式的正交關(guān)系

和遞歸公式，

式(31)的解如下所示：

情況 ?

情況?

然后，由于(33)中的項(xiàng)

為0，我們得到

因此，

常數(shù)可以從(28)方便地求出，

可以通過一個(gè)變換從得到(譯注：這里是一個(gè)簡單的線性變換，可以理解為一個(gè)線性函數(shù),?，那么即可求出)

由此可以很容易地得到(6)到。

致謝

作者想要表達(dá)對Papoulis教授的感謝，因?yàn)樗P(guān)于濾波器的文章，本工作基本上是依據(jù)他的方法進(jìn)行開發(fā)的。

參考文獻(xiàn)

Manuscript received by the PGCT, December 8, 1958 .

? Yokogawa Elec. Works, Ltd., Musashinu-shi, Tokyo, Japan.

[1]: A. Papoulis, “On monotonic response filters,” Proc. IRE, vol 47, pp. 332-333; February, 1959.

[2]: A. Papoulis, “Optimum filters with monotonic response,” P_(ROC). IRE, vol. 46, pp. 606-609; March, 1958[具有單調(diào)響應(yīng)的最優(yōu)濾波器?].

[3]: A. Papoulis, “A new class of filters,” 1958 N_(ATIONAL) IRE C_(ONVENTION) R_(ECORD), pt. 2, pp. 42-47.

[4]: E. Jahnke and F. Emde, “Tables of Functions,” B. G. Teubner, Leipzig and Berlin, Germany, pp. 173-183; 1933.

[5]: E. A. Guillemin, “Synthesis of Passive Networks,” John Wiley and Sons, Inc., New York, N. Y., pp. 445-455; 1957.

編輯：黃飛

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