今天講一個(gè)短平快的問題。 很多人對(duì)機(jī)械波的能量感到困惑，為什么處于平衡位置的媒質(zhì)的質(zhì)元的彈性勢(shì)能反而是最大的？為什么質(zhì)元的動(dòng)能與勢(shì)能同步變化？ 當(dāng)然，你可能會(huì)根據(jù)一些特例來幫助理解這些問題。例如，抖動(dòng)一根水平繩產(chǎn)生橫波時(shí)，你注意到那些位于平衡的位置，因?yàn)閮蛇吺艿降睦χ赶蛳喾捶较?，所以形變是最厲害的；而處在最高或最低點(diǎn)的那些位置，兩邊受到的力指向同一方向，雖然具有最大的加速度，但本身的形變卻為零。所以勢(shì)能最大的位置應(yīng)該在平衡位置。

如果用力抖動(dòng)一根軟彈簧形成橫波，那么會(huì)看到平衡位置處，彈簧形變最明顯，而最低和最高點(diǎn)幾乎還是原樣，如下圖所示。

至于動(dòng)能，你也容易想到一個(gè)屢試不爽的規(guī)律：平衡位置的加速度為零，速度必然最大，所以動(dòng)能就是最大。 如此一來，動(dòng)能和勢(shì)能同步達(dá)到最大，當(dāng)然也會(huì)同步達(dá)到最小，所以它們同步變化的規(guī)律就坐實(shí)了。 但若要較真，機(jī)械波的能量的規(guī)律到底該怎么得到呢？那你還得用一點(diǎn)數(shù)學(xué)。下面較詳細(xì)的給出一個(gè)推理分析的過程。 考慮一根長(zhǎng)為??的彈簧被拉伸了??，它的彈性勢(shì)能是多少？

學(xué)過高中物理的你，當(dāng)然知道是下面這樣的?

其中??為倔強(qiáng)系數(shù)。如果彈簧的材料和粗細(xì)確定，更長(zhǎng)的彈簧，倔強(qiáng)系數(shù)更小，這個(gè)應(yīng)該很好理解，彈簧越長(zhǎng)，拉起來當(dāng)然就沒那么費(fèi)力了。?按此規(guī)律，可將倔強(qiáng)系數(shù)寫成?其中??是一個(gè)常數(shù)，取決于彈簧的粗細(xì)和材料性質(zhì)。

那么上面的勢(shì)能可以寫成?這里故意拼湊了一個(gè)新變量——??，即相對(duì)伸長(zhǎng)量。由于??是常量，所以，對(duì)某個(gè)彈簧（材料、粗細(xì)和原長(zhǎng)確定），其儲(chǔ)存的勢(shì)能由它的相對(duì)伸長(zhǎng)量決定。

如果彈簧是被壓縮的，只不過??，能量表達(dá)式也是一樣的。

總之，彈簧的相對(duì)形變量??決定它的勢(shì)能！?

那么，對(duì)一段長(zhǎng)為??的媒質(zhì)，它所儲(chǔ)存的勢(shì)能也是類似的：取決于它的相對(duì)形變量。

你可能認(rèn)為，這段媒質(zhì)的中心的偏移量會(huì)產(chǎn)生勢(shì)能，這其實(shí)是一種錯(cuò)覺。媒質(zhì)中各點(diǎn)的絕對(duì)偏移量并不一定會(huì)形成彈性勢(shì)能！

想象你手里拿著的一把尺子，假設(shè)它現(xiàn)在整體移動(dòng)一段距離，很顯然，整個(gè)尺子的重力勢(shì)能的確變了，但始終沒有形變，所以也沒有彈性勢(shì)能！但顯然，尺子上各點(diǎn)不是發(fā)生了偏移嗎？！

所以，從根本上說，只有當(dāng)內(nèi)部各點(diǎn)的位移不同，導(dǎo)致各點(diǎn)之間發(fā)生相對(duì)位移，也就是物質(zhì)產(chǎn)生了形變時(shí)，才會(huì)形成彈性勢(shì)能。

很顯然，機(jī)械波的媒質(zhì)就是最好的代表的呀！

對(duì)機(jī)械波來說，波函數(shù)的變量??是描述媒質(zhì)中點(diǎn)的偏移量的。它是位置??和時(shí)間??的函數(shù)，換句話說，同時(shí)刻不同點(diǎn)的偏移量不一致呀！所以自然會(huì)導(dǎo)致各點(diǎn)之間發(fā)生相對(duì)位移，也就是波的媒質(zhì)發(fā)生形變，這就能導(dǎo)致彈性勢(shì)能啦！

那么，媒質(zhì)中的勢(shì)能隨位置變化的規(guī)律是怎樣的呢？

考慮某個(gè)確定的時(shí)刻??，波表現(xiàn)為一條曲線——波形曲線。

它描繪媒質(zhì)中各點(diǎn)偏移量??隨坐標(biāo)??的變化情況，用函數(shù)表示為?

當(dāng)位置??產(chǎn)生??的增量時(shí)，偏移量??也產(chǎn)生一個(gè)增量??。?

現(xiàn)在分析媒質(zhì)中一段原長(zhǎng)為??的質(zhì)元。

形變前，它的兩端坐標(biāo)分別是??和??。

形變后，兩端點(diǎn)的縱向偏移量分別是??和??。左端坐標(biāo)變?yōu)??+??，而右端坐標(biāo)變?yōu)??+??+??+??。

因此，形變后的媒質(zhì)的長(zhǎng)度是??+??，絕對(duì)伸長(zhǎng)量為??，故相對(duì)原長(zhǎng)??的相對(duì)形變——相對(duì)伸長(zhǎng)量為?

按照前面講的相對(duì)伸長(zhǎng)量決定勢(shì)能的規(guī)律，這段原長(zhǎng)為??的質(zhì)元現(xiàn)儲(chǔ)存的勢(shì)能為?

如果將右側(cè)的??移到左邊相除，則得到的是該段介質(zhì)內(nèi)的平均勢(shì)能密度??，故?仿照平均速度到瞬時(shí)速度的過渡方式——將時(shí)間??得到任意時(shí)刻的速度，現(xiàn)在考慮無限小的一段介質(zhì)，上式中的??，無窮小量變成微分量，用?代替??，則得介質(zhì)中任意點(diǎn)的勢(shì)能密度為?

看到了吧！兩個(gè)微分相除導(dǎo)致微商，這樣就得到導(dǎo)數(shù)了。

實(shí)際上，考慮任意時(shí)刻的情形，???是??和??的函數(shù)??，故應(yīng)用偏導(dǎo)符號(hào)??代替??重寫為?這下好了！誰的導(dǎo)數(shù)？偏移量??對(duì)質(zhì)元坐標(biāo)??的偏導(dǎo)數(shù)，也就是質(zhì)元的偏移量對(duì)坐標(biāo)的變化率！這不就是波形曲線上某一點(diǎn)切線的斜率嗎？

所以，媒質(zhì)中質(zhì)元的勢(shì)能取決于波形曲線上的切線的斜率，斜率絕對(duì)值越大，勢(shì)能越大，絕對(duì)值越小，勢(shì)能就越小。

很顯然，波形曲線上，平衡位置處的斜率絕對(duì)值最大??！所以這個(gè)位置的勢(shì)能最大！什么地方斜率為零？當(dāng)然就是波峰和波谷處，所以這些位置的勢(shì)能為零！

實(shí)際上，根據(jù)正弦和余弦之間互為導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，更一般的規(guī)律可從上圖看出。 上面的推導(dǎo)是按照縱波來進(jìn)行的，如果是橫波，物質(zhì)會(huì)發(fā)生橫向形變，計(jì)算稍微復(fù)雜一點(diǎn)，但最終的規(guī)律是一致的。 下面再進(jìn)一步來看機(jī)械波能量的表達(dá)式。 首先是勢(shì)能部分。 由上面的分析可知，要得到勢(shì)能的確切的表達(dá)式，就要確定式中的??的值，它反映這段媒質(zhì)的倔強(qiáng)系數(shù)除了長(zhǎng)度之外的其它影響。那么，這些所謂“其它影響”有哪些呢？

材料的彈性？對(duì)！確切的叫彈性模量。還有呢？這段媒質(zhì)的粗細(xì)？肯定越粗越難對(duì)付吧？沒錯(cuò)！

彈性模量這個(gè)東西，是針對(duì)固體來說的，對(duì)液體來說，也有相應(yīng)的那個(gè)量?？傊?，就是物體本身的彈性性質(zhì)。

假設(shè)彈性模量用??表示，媒質(zhì)的粗細(xì)，也就是它的底面積用??表示，則得?據(jù)此，上面的勢(shì)能??可表示為?這其中，??正好就是媒質(zhì)的體積??；而一般來說，彈性模量??與波速??的關(guān)系為?其中??是密度，根據(jù)??，上面的勢(shì)能可寫成?如果考察一個(gè)段媒質(zhì)的微元，則上式為?將波函數(shù)?對(duì)??的偏導(dǎo)代入，即得勢(shì)能的表達(dá)式為?再看動(dòng)能部分。

這段介質(zhì)??在振動(dòng)，所以具有動(dòng)能。動(dòng)能很簡(jiǎn)單，直接按動(dòng)能的表達(dá)式，即?

其中??是媒質(zhì)的振動(dòng)速度——注意，媒質(zhì)并沒有隨著波運(yùn)動(dòng)！所以這里的??不是波速，而是媒質(zhì)偏移的速度——振動(dòng)速度，按照速度的定義就是?得到動(dòng)能為?

這才發(fā)現(xiàn)，質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能隨位置和時(shí)間的變化規(guī)律竟然完全一樣，用更物理的語(yǔ)言說，它倆是同幅同相變化的，對(duì)確定點(diǎn)，二者的值每時(shí)刻都完全一致！

機(jī)械波的能量是動(dòng)能與勢(shì)能之和，那么自然的，質(zhì)元??的機(jī)械能為?即?可化為?這下徹底看清楚了，能量與坐標(biāo)和時(shí)間相關(guān)的部分?具有簡(jiǎn)諧波的標(biāo)準(zhǔn)形式。因此，機(jī)械波的能量本身也形成一個(gè)簡(jiǎn)諧波，它的頻率是波的頻率的兩倍。對(duì)簡(jiǎn)諧波來說，能量的傳播速度就是波本身的速度，即相速度??。 既然簡(jiǎn)諧波的能量隨時(shí)間周期變化，說明簡(jiǎn)諧波的媒質(zhì)的質(zhì)元的能量并不守恒，這一點(diǎn)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)不同。很多人覺得這一點(diǎn)違反直覺。他們認(rèn)為：簡(jiǎn)諧波的媒質(zhì)的質(zhì)元不都在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)嗎？既然如此，質(zhì)元的能量應(yīng)該是守恒的呀！？ 問題的癥結(jié)在于，簡(jiǎn)諧波的質(zhì)元并不是做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因?yàn)橄噜彽馁|(zhì)元之間有力的作用，所以質(zhì)元做的是受迫振動(dòng)而非簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 當(dāng)波前剛抵達(dá)某個(gè)質(zhì)元時(shí)，它還處于平衡位置，此時(shí)質(zhì)元的能量是最大的。在一個(gè)波峰或波谷抵達(dá)某質(zhì)元的過程中，它的能量沿波的傳播方向流出——因?yàn)樗枰邉?dòng)它的鄰居跟著一起動(dòng)起來；當(dāng)波峰或波谷到達(dá)質(zhì)元后，它又重新開始吸收來自波源方向傳入的能量，再次回到平衡位置。如此反復(fù)，能量沿著波線方向不斷向前傳播。

編輯：黃飛

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