1、坐標(biāo)變換的性質(zhì)及約束條件

坐標(biāo)變換是一種線性變換，如無(wú)約束，變換就不是唯一的。在電機(jī)的系統(tǒng)分析中，所應(yīng)用的坐標(biāo)變換可有兩種約束：

（1）功率不變約束，即變換前后功率保持不變。

（2）合成磁動(dòng)勢(shì)不變約束，即變換前后合成磁動(dòng)勢(shì)保持不變

1.1 功率不變約束

設(shè)在某坐標(biāo)系統(tǒng)中各繞組的電壓和電流向量分別為 *u * = [u 1 , u 2 , …, u n ]^T^和 *i * = [i 1 , i 2 , …, i n ] ^T^ ，在新的坐標(biāo)系統(tǒng)中電壓和電流向量變?yōu)? u '= [u' 1 , u' 2 , …, u' n ]^T^和 i ' = [i' 1 , i' 2 , …, i' n ] ^T^ 。新向量與原向量的坐標(biāo)變換關(guān)系為：

由于變換前后功率不變，則 i ^T^ u *** = i '^T^ u 'Ti***^T^ u *** =(Ci i ') ^T^ (Cu* u ')= i '^T^C i ^T^Cu u '，從而

其中E為單位矩陣。上式就是功率不變約束下坐標(biāo)變換陣需要滿足的關(guān)系式。

在一般情況下，電壓變換陣與電流變換陣可以取為同一矩陣，即令C u =C i = C *** ，則有C*** ^T^ = C ^-1^

由此可知，在功率不變約束下，當(dāng)電壓向量和電流向量選取相同的變換時(shí)，

變換陣的轉(zhuǎn)置與其逆矩陣相等，這樣的坐標(biāo)變換屬于正交變換。

1.2 合成磁動(dòng)勢(shì)不變約束

至于合成磁動(dòng)勢(shì)不變約束，因?yàn)槔@組電流與磁動(dòng)勢(shì)成正比，只要把電流的合成向量分別在新坐標(biāo)系和原坐標(biāo)系進(jìn)行投影，就可以確定新向量與原向量之間的坐標(biāo)變換關(guān)系。

2、3s/2s變換

三相-兩相變換即指在三相靜止坐標(biāo)系a-b-c坐標(biāo)系和兩相靜止坐標(biāo)系α-β坐標(biāo)系之間的變換，簡(jiǎn)稱3/2變換或Clarke變換。

2.1 Clarke變換（功率不變）

圖 1 給出了A-B-C坐標(biāo)系和α-β坐標(biāo)系，為方便起見(jiàn)，取A軸和α 軸重合。設(shè)三相繞組每相有效匝數(shù)為N3，兩相繞組每相有效匝數(shù)為N2，各相磁動(dòng)勢(shì)為有效匝數(shù)與電流的乘積，其空間矢量均位于有關(guān)相的坐標(biāo)軸上。由于交流磁動(dòng)勢(shì)的大小隨時(shí)間在變化著，圖中磁動(dòng)勢(shì)矢量的長(zhǎng)度是隨意的

圖1 三相和兩相坐標(biāo)系與繞組磁動(dòng)勢(shì)的空間矢量

設(shè)磁動(dòng)勢(shì)波形是正弦分布的，當(dāng)三相總磁動(dòng)勢(shì)與二相總磁動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，兩套繞組瞬時(shí)磁動(dòng)勢(shì)在αβ軸上的投影都應(yīng)相等，即

即

考慮變換前后總功率不變，在此前提下，匝數(shù)比應(yīng)為

令C3/2表示從三相靜止坐標(biāo)系A(chǔ)-B-C坐標(biāo)系到兩相靜止坐標(biāo)系α-β坐標(biāo)系的變換矩陣，則

令C2/3表示從兩相靜止坐標(biāo)系α-β坐標(biāo)系到三相靜止坐標(biāo)系A(chǔ)-B-C坐標(biāo)系的變換矩陣，則

按照所采用的條件，電流變換陣也就是電壓變換陣，同時(shí)還可證明，它們也是磁鏈的變換陣。

2.2 Clarke變換（電力電子常用等幅變換）

在一些電機(jī)以及電力電子變換控制中，常為了實(shí)現(xiàn)計(jì)算方便，進(jìn)行等幅變換，這樣變換矩陣為

即

逆變換（正變換的逆也為其轉(zhuǎn)置）為

即

即

下面舉例看下變換前后的關(guān)系，如

變換為

圖2 αβ軸上電壓波形（uα，uβ分別黃色和粉色，（幅值與abc均相等，β滯后α軸90°））

若

變換為

圖3 αβ軸上電壓波形（uα，uβ分別黃色和粉色，（幅值與abc軸均相等β超期α軸90°））

3、2s/2r變換

兩相-兩相變換即指在兩相靜止坐標(biāo)系αβ坐標(biāo)系和兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq坐標(biāo)系之間的變換，簡(jiǎn)稱2s/2r變換或Park變換。

3.1 Park變換

給出了兩相靜止坐標(biāo)系αβ坐標(biāo)系和兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq坐標(biāo)系。圖中，兩相交流電流iα, iβ和兩相直流電流id, iq產(chǎn)生同樣的以同步轉(zhuǎn)速ω1旋轉(zhuǎn)的合成磁動(dòng)勢(shì)Fs。由于各繞組匝數(shù)都相等，可以消去磁動(dòng)勢(shì)中的匝數(shù)，直接用電流表示。但必須注意，這里的電流都是空間矢量，而不是時(shí)間相量。

圖4 兩相和兩相坐標(biāo)系與繞組磁動(dòng)勢(shì)的空間矢量

dq軸和矢量Fs都以轉(zhuǎn)速ω1旋轉(zhuǎn)，分量id, iq的長(zhǎng)短不變，相當(dāng)于dq繞組的直流磁動(dòng)勢(shì)。但αβ軸是靜止的，α軸與d軸的夾角θ隨時(shí)間而變化，因此is在αβ軸上的分量的長(zhǎng)短也隨時(shí)間變化，相當(dāng)于繞組交流磁動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。由圖可見(jiàn)，id, iq和iα, iβ之間存在下列關(guān)系

則兩相靜止坐標(biāo)系變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換陣是：

兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換到兩相靜止坐標(biāo)系的變換陣是：

電壓和磁鏈的旋轉(zhuǎn)變換陣也與電流（磁動(dòng)勢(shì)）旋轉(zhuǎn)變換陣相同。

3.2 Park變換（電力電子常用兩種變換）

在電力電子變換中，常用兩種：d軸與α軸位置相同，d軸滯后α軸90°。

第一種：d軸與α軸位置相同

其逆變換為

第二種：d軸滯后α軸90°

其逆變換為

若鎖定與A相同相位（wt），則

第一種變換后，最終d = 0, q = -1.

第二種變換，最終 d = 1, q =0.

若鎖定與A滯后90°（wt-pi/2），則

第一種變換后，最終d = 1, q = 0.

第二種變換，最終d = 0, q = 1.

4、 3s/2r變換

三相-兩相變換即指在三相靜止坐標(biāo)系A(chǔ)-B-C坐標(biāo)系和兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq坐標(biāo)系之間的變換，簡(jiǎn)稱3s/2r變換。

4.1 3s/2r變換矩陣

3s/2r變換如下圖所示，

圖5 三相與兩相坐標(biāo)系變換空間矢量圖

從三相靜止坐標(biāo)系A(chǔ)-B-C坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq坐標(biāo)系的變換式為

其反變換式為

4.2 3s/2r變換矩陣（電力電子控制中常用兩種變換）

第一種：d軸與α軸位置相同

其逆變換結(jié)構(gòu)

第二種：d軸滯后α軸90°

其逆變換