前言

基數(shù)排序（radix sort）又稱桶排序（bucket sort），相對于常見的比較排序，基數(shù)排序是一種分配式排序，即通過將所有數(shù)字分配到應在的位置最后再覆蓋到原數(shù)組完成排序的過程。今天我們要說的基數(shù)排序就要利用到排序穩(wěn)定性這一點。

思考過程 我們回想一下我們小時候是怎么學習比較數(shù)字大小的？我們是先比位數(shù)，如果一個位數(shù)比另一個位數(shù)多，那這個數(shù)肯定更大。如果位數(shù)同樣多，就按位數(shù)遞減依次往下進行比較，哪個數(shù)在這一位上更大那就停止比較，得出這個在這個位上數(shù)更大的數(shù)字整體更大的結論。當然我們也可以從最小的位開始比較，這其實就對應了基數(shù)排序里的MSD（most significant digital）和LSD（least significant digital）兩種排序方式。

想清楚了這一點之后，我們就要考慮如何存儲每一位排序結果的問題了，首先既然作為分配式排序，聯(lián)想計數(shù)排序，每一位排序時存儲該次排序結果的數(shù)據(jù)結構應該至少是一個長度為10的數(shù)組（對應十進制該位0-9的數(shù)字）。同時可能存在以下情況：原數(shù)組中所有元素在該位上的數(shù)字都相同，那一維數(shù)組就沒法滿足我們的需要了，我們需要一個10*n（n為數(shù)組長度）的二維數(shù)組來存儲每次位排序結果。熟悉計數(shù)排序結果的讀者可能會好奇：為什么不能像計數(shù)排序一樣，在每個位置只存儲出現(xiàn)該數(shù)字的次數(shù)，而不存儲具體的值，這樣不就可以用一維數(shù)組了？這個我們不妨先思考一下，在對基數(shù)排序分析完之后再來看這個問題。

現(xiàn)在我們可以存儲每次位排序的結果了，為了在下一位排序前用到這一位排序的結果，我們要將桶里排序的結果還原到原數(shù)組中去，然后繼續(xù)對更改后的原數(shù)組執(zhí)行前一步的位排序操作，如此循環(huán)，最后的結果就是數(shù)組內(nèi)元素先按最高位排序，最高位相同的依次按下一位排序，依次遞推。得到排序的結果數(shù)組。

算法過程初始化：構造一個10*n的二維數(shù)組，一個長度為n的數(shù)組用于存儲每次位排序時每個桶子里有多少個元素。

循環(huán)操作：從低位開始（我們采用LSD的方式），將所有元素對應該位的數(shù)字存到相應的桶子里去（對應二維數(shù)組的那一列）。然后將所有桶子里的元素按照桶子標號從小到大取出，對于同一個桶子里的元素，先放進去的先取出，后放進去的后取出（保證排序穩(wěn)定性）。這樣原數(shù)組就按該位排序完畢了，繼續(xù)下一位操作，直到最高位排序完成。

下面給出一個實例幫助理解：

我們現(xiàn)有一個數(shù)組：73， 22， 93， 43， 55， 14， 28， 65， 39， 81

下面是排序過程（二維數(shù)組里每一列對應一個桶，因為桶空間沒用完，因此沒有將二維數(shù)組畫全）：

1.按個位排序

?

按第一位排序后數(shù)組結果：

81，22，73，93，43，14，55，65，28，39

可以看到數(shù)組已經(jīng)按個位排序了。

2根據(jù)個位排序結果按百位排序

?

取出排序結果：

14，22，28，39，43，55，65，73，81，93

可以看到在個位排序的基礎上，百位也排序完成（對于百位相同的數(shù)子，如22，28，因為個位已經(jīng)排序，而取出時也保持了排序的穩(wěn)定性，所以這兩個數(shù)的位置前后是根據(jù)他們個位排序結果決定的）。因為原數(shù)組元素最高只有百位，原數(shù)組也完成了排序過程。

總結

我們現(xiàn)在來看看之前遺留的兩個問題：為什么不能用一維數(shù)組，一定要用二維數(shù)組這樣的類似桶的結構來存儲中間位排序結果？其實之所以要寫這個問題，是因為我覺得這個問題是理解基數(shù)排序的關鍵。基數(shù)排序本身原理很簡單，但是實現(xiàn)中有兩個問題需要考慮：1.怎么保留前一位的排序結果，這個問題用之前提到的排序穩(wěn)定性可以解決。2.怎么關聯(lián)該位排序結果和原數(shù)組元素，二維數(shù)組正是為了解決這個問題使用的辦法。在計數(shù)排序里，雖然保留了所有相等的元素的相對位置，但是這些相等的元素在計數(shù)排序里實際是沒有差別的，因此我們可以只保存數(shù)組里有多少個這樣的元素即可。而基數(shù)排序里不同，有些元素雖然在某一位上相同，但是他們其他位上很可能不同，如果只保存該位上有多少個5或者多少個6，那關于元素其他位的信息就都丟棄了，這樣也就沒法對這些元素更高位進行排序了。

弄清基數(shù)排序的過程后，我們來看看這個算法的時間復雜度是多少？每次循環(huán)遍歷數(shù)組將元素放在指定位置Θ（n），在從桶中取出數(shù)據(jù)Θ（n），循環(huán)d次（d是位數(shù)），時間復雜度就是Θ（r*n）

最后附上基數(shù)排序的java實現(xiàn)：

package sort;

public class RadixSort {

private static void radixSort（int［］ array，int d）

{

int n=1;//代表位數(shù)對應的數(shù)：1，10，100.。。

int k=0;//保存每一位排序后的結果用于下一位的排序輸入

int length=array.length;

int［］［］ bucket=new int［10］［length］;//排序桶用于保存每次排序后的結果，這一位上排序結果相同的數(shù)字放在同一個桶里

int［］ order=new int［length］;//用于保存每個桶里有多少個數(shù)字

while（n《d）

{

for（int num:array） //將數(shù)組array里的每個數(shù)字放在相應的桶里

{

int digit=（num/n）%10;

bucket［digit］［order［digit］］=num;

order［digit］++;

}

for（int i=0;i《length;i++）//將前一個循環(huán)生成的桶里的數(shù)據(jù)覆蓋到原數(shù)組中用于保存這一位的排序結果

{

if（order［i］！=0）//這個桶里有數(shù)據(jù)，從上到下遍歷這個桶并將數(shù)據(jù)保存到原數(shù)組中

{

for（int j=0;j《order［i］;j++）

{

array［k］=bucket［i］［j］;

k++;

}

}

order［i］=0;//將桶里計數(shù)器置0，用于下一次位排序

}

n*=10;

k=0;//將k置0，用于下一輪保存位排序結果

}

}

public static void main（String［］ args）

{

int［］ A=new int［］{73，22， 93， 43， 55， 14， 28， 65， 39， 81};

radixSort（A， 100）;

for（int num:A）

{

System.out.println（num）;

}

}

}

下面是程序運行結果：

14

22

28

39

43

55

65

73

81

93