一、數(shù)值實驗的過程和特點

傳統(tǒng)意義上的實驗，即現(xiàn)在所稱的實驗室實驗，是指用物質(zhì)手段改變研究對象而獲得關(guān)于其性質(zhì)或狀態(tài)的信息。這里稱人們有目的地運用電子計算機來了解某類客觀事物的性質(zhì)或狀態(tài)的實踐活動為數(shù)值實驗。數(shù)值實驗不僅僅是求解問題的數(shù)值計算，重要的是觀察模型條件和參數(shù)變化時，結(jié)果有何種相應(yīng)變化。關(guān)于后者，[1]中生動地描述為“先是創(chuàng)造一個微小的宇宙，然后觀察它的演化，然后再改動這兒，改動那兒，改動一些性質(zhì)之后，再觀察一遍從頭開始的演化過程?！?/p>

數(shù)值實驗的過程包括個3基本步驟：

明確數(shù)值實驗?zāi)康?，設(shè)計數(shù)值實驗方案；

選擇和/或編制數(shù)值計算程序，上機運算；

對計算機輸出的數(shù)字或圖形進(jìn)行理論分析。

新的普適常數(shù)δ的發(fā)現(xiàn)就是上述過程的一個例子。首先，費根鮑姆 (Feigenbaum) 為了找到在區(qū)間迭代映射中進(jìn)入混沌帶的規(guī)律，選擇了一些截然不同的單峰非線性函數(shù)進(jìn)行迭代；其次，在與成千上萬個數(shù)據(jù)接觸中他發(fā)現(xiàn)δ=4.6692...這個數(shù)值反復(fù)出現(xiàn)；最后，他用π、e、c、h、k等已知普適常數(shù)做各種組合，以驗證δ確是一個新的普適常數(shù)。此外，他還用重整化群方法在理論上進(jìn)行了論證。需要指出的是，數(shù)值實驗的步驟3至關(guān)重要，計算機的大量輸出，若無理論分析，難以說明任何問題。

數(shù)值實驗具備一些獨特的性質(zhì)。首先，數(shù)值實驗的實驗對象是客觀實在的理論抽象，是經(jīng)過提煉的數(shù)學(xué)模型，這種抽象的實驗對象往往能突出客觀實在的特性。例如洛倫茨 (Lorenz) 在研究長期氣象預(yù)報的困難所在時，并不直接以大氣現(xiàn)象為實驗對象，而是針對經(jīng)截斷的流體對流模型進(jìn)行數(shù)值實驗，發(fā)現(xiàn)了后來所稱的“蝴蝶效應(yīng)”，從而揭示了長期氣象預(yù)報的不可能性。

其次，數(shù)值實驗中的實驗條件可以較精確地加以控制。近現(xiàn)代科學(xué)中的實驗都是受控實驗，需要對實驗條件進(jìn)行控制。實驗室實驗由于外界隨機噪聲背景的干擾和各類測量性誤差的限制，因而很難實現(xiàn)嚴(yán)格的控制；在數(shù)值實驗中，實驗條件即是所研究數(shù)學(xué)模型中的各種參數(shù)，因而可以達(dá)到很高精度的控制，這在非線性問題研究中也是非常必要的。例如在描述外周期力作用下不含擴散項的三分子反應(yīng)的布魯塞爾 (Brussel) 振子模型中，有4個參數(shù)，外加2個初值，只有在數(shù)值實驗中才可能分析某個參數(shù)對模型混沌性態(tài)的影響。

最后，數(shù)值實驗的一個特點是實驗所需的人力物力較少，實驗周期短，實驗過程與結(jié)果可以存盤長期保存，實驗也易于重復(fù)檢驗。這些都是實驗室實驗無法比擬的。

二、數(shù)值實驗的作用

在非線性問題中，由于理論不完備，實驗室實驗難度較大，因此數(shù)值實驗起著非常重要甚至是不可替代的作用。這些作用主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

數(shù)值實驗在非線性問題研究中的一個突出作用是發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象。截斷對流模型呈現(xiàn)的非周期運動、非可積非遍歷的非線性耦合雙振子系統(tǒng)從周期運動到隨機運動的過渡、無碰撞液體中的孤立子、單自由度非線性振子貌似隨機的混亂定常運動、2維映射中的奇怪吸引子、單峰非線性閉區(qū)間迭代由倍周期分叉到混沌的普適常數(shù)δ?和α、復(fù)平面上迭代映射形成的分形集，以及迭代求根公式中不同根吸引區(qū)域的復(fù)雜邊界，諸如此類的大量新現(xiàn)象都是由數(shù)值實驗發(fā)現(xiàn)的，這已成過去20余年來非線性問題研究的重要特色。

數(shù)值實驗在非線性問題研究中的另一作用是補充理論結(jié)果，數(shù)值實驗可以使一些理論結(jié)果定量化。例如在采用漸近法或攝動法等近似解析方法研究非線性問題時，其結(jié)論往往僅當(dāng)問題中某個小參數(shù)ε充分小時才適用，對于特定問題，只有用數(shù)值實驗才能定量地確定出ε的容許范圍。數(shù)值實驗還可以揭示理論結(jié)果中有關(guān)條件不成立時將發(fā)生的情況，如著名的KAM定理條件不成立時的混沌圖像便是由埃農(nóng) (Hénon) 和福特 (Ford) 等人進(jìn)行大量數(shù)值實驗而得到的。

數(shù)值實驗還可以借助具體直觀來提供啟示，激發(fā)靈感。這種作用早在電子計算機問世之前就在數(shù)論及低維幾何和拓?fù)涞葦?shù)學(xué)分支中顯示，高斯推測素數(shù)定理就是一例?，F(xiàn)代計算機及其圖形顯示技術(shù)使得數(shù)值實驗?zāi)芨行У匕l(fā)揮這種作用。例如完成曼德爾布羅 (Mandelbrot) 集連通性證明的哈伯德 (Hubbard) 后來回憶，在仔細(xì)觀察計算機描繪的圖案數(shù)小時后，他認(rèn)為曼德爾布羅集是連通的，有了正確的結(jié)論便大大減少了證明的困難。此外，計算機繪出的各種美麗圖形也能更廣泛地引起研究者的興趣，突出的例子是分形的研究。雖然早在20年代就由朱利亞 (Julia) 開創(chuàng)了復(fù)平面迭代的研究，后又有當(dāng)代數(shù)學(xué)大師阿爾福斯 (Ahlfors) 的參與，但仍因有關(guān)圖形無法用紙和筆繪制出來而不得不偃旗息鼓。直到70年代末曼德爾布羅用計算機繪出先前僅在研究者大腦中有想象的圖形，才使分形研究受到普遍關(guān)注。

像實驗室實驗一樣，數(shù)值實驗還有檢驗理論結(jié)果的作用。有人甚至認(rèn)為“數(shù)值計算一般可以是理論分析的最終檢驗”。早在混沌等非線性問題研究熱潮興起之前，費米 (Fermi) 等人就曾用數(shù)值實驗針對非線性振子耦合鏈的動力學(xué)行為檢驗了波爾茨曼 (Boltzmann) 遍歷性假設(shè)，結(jié)果該系統(tǒng)并沒有出現(xiàn)假設(shè)所預(yù)言的情形，從而知道遍歷性并非是不可積動力系統(tǒng)的普遍性質(zhì)。大量非線性問題，如同一偏微分方程的兩個孤立波相撞后是否保持其形狀不變從而具有孤立子的特征、陣發(fā)混沌與倍周期分叉的關(guān)系、倍周期分叉序列或MSS普適序列在微分方程所控制系統(tǒng)中的實現(xiàn)等，均可用數(shù)值實驗進(jìn)行檢驗。數(shù)值實驗甚至還有可能證明定理，曾將費根鮑姆的有關(guān)結(jié)論在計算機輔助下予以證明的蘭福德 (Lanford) 正在努力使數(shù)值實驗成為嚴(yán)格證明的方法。

三、理論在數(shù)值實驗中的作用

現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)已提供大量的論證和實例表明實驗是不能脫離理論的，數(shù)值實驗作為一種特殊的實驗，理論在其中起著更重要的作用。

數(shù)值實驗的全部過程都是在理論的指導(dǎo)和配合下實現(xiàn)的。數(shù)值實驗的對象（數(shù)學(xué)模型）本身便是理論研究的產(chǎn)物，數(shù)值實驗的目的（發(fā)現(xiàn)什么、驗證什么等）都直接或間接地與理論的發(fā)展有關(guān)。編制和實施計算程序要用到計算數(shù)學(xué)理論，分析處理計算機輸出更需要有較高的理論素養(yǎng)。

理論在數(shù)值實驗中的作用還表現(xiàn)在，數(shù)值實驗的結(jié)果要得到充分重視必須有理論研究的背景，回顧一些重要的數(shù)值實驗被忽視的史實便可以清楚地看出這一點。仍以費米等人的耦合非線性振子數(shù)值研究為例，這是最早的一個重要數(shù)值實驗，現(xiàn)已公認(rèn)它的結(jié)果是對當(dāng)時物理學(xué)基本觀念的挑戰(zhàn)。它一方面否證了遍歷性假設(shè)，另一方面也是現(xiàn)已滲透到數(shù)學(xué)物理每個分支的孤立子理論的開端。但由于當(dāng)時的理論研究背景，費米等人也僅將它當(dāng)作反常的個別現(xiàn)象未予以深入研究，有關(guān)論文也沒有正式發(fā)表，10年后才收入費米的全集，近20年后在孤立子研究熱潮中重新發(fā)表。[1]中記敘的有關(guān)混沌的一些數(shù)值實驗亦有類似命運。

理論研究與數(shù)值實驗又是互相補充的。例如在研究連續(xù)流動攪拌槽反應(yīng)器數(shù)學(xué)模型分叉問題中，厄帕爾 (Uppal) 等人在進(jìn)行大量數(shù)值實驗的基礎(chǔ)上給出了系統(tǒng)的5種局部分叉圖，戈盧比茨基 (Golubitsky) 等人應(yīng)用奇異理論予以證實并發(fā)現(xiàn)2種新的分又圖，他們還指出這些局部結(jié)果有可能推廣到全局，巴拉科泰亞 (Balakotaiah) 等用數(shù)值實驗驗證了上述理論結(jié)果可以推廣到全局。這種從數(shù)值實驗到理論分析再到新的數(shù)值實驗的研究模式，在非線性問題研究中有著廣泛的應(yīng)用。

綜上可知，與實驗室實驗相比，數(shù)值實驗與理論的關(guān)系更為密切。就數(shù)值實驗的性質(zhì)而言，誠如埃農(nóng)所說：“數(shù)值實驗是名副其實的實驗，要用實驗物理學(xué)家而不是數(shù)學(xué)家的心態(tài)描述和評價?！钡推鋵嵤┻^程而言，則更接近于理論研究?？梢哉J(rèn)為數(shù)值實驗的出現(xiàn)在一定程度上淡化了實驗研究與理論研究的差別。

四、數(shù)值實驗的局限性

任何方法都不是萬能的，數(shù)值實驗也不例外，它也有自身的局限性。

數(shù)值實驗的局限性首先表現(xiàn)在它完全依賴于問題的數(shù)學(xué)模型。若尚無令人滿意的數(shù)學(xué)模型，如地震過程，數(shù)值實驗便無能為力。若數(shù)學(xué)模型非常復(fù)雜，如湍流，數(shù)值實驗所能起的作用也是很有限的，特別是在大雷諾數(shù)的情況下，計算量之大使得即使是大尺度精確模擬也不可能，只能借助于大渦模擬等一些特定模式。

必然存在的誤差也反映了數(shù)值實驗的局限性。即使不考慮建立模型本身時的誤差，數(shù)值實驗也不可避免地存在著截斷誤差和舍入誤差。數(shù)值運算如積分、求導(dǎo)、級數(shù)求和等極限過程，都是強制性近似的，無限多位的實數(shù)是通過有限位的截尾數(shù)來近似的。已有的相同數(shù)學(xué)模型采用不同算法或在不同機器上運行得到定性相異結(jié)果的報道表明，數(shù)值實驗結(jié)果同計算方法和工具有關(guān)。斯帕羅 (Sparrow) 在對洛倫茨方程的系統(tǒng)研究中，謹(jǐn)慎地將大多數(shù)數(shù)值實驗在不同的計算機上用不同的算法進(jìn)行，這對于克服誤差產(chǎn)生的局限無疑是必要的，但仍不是充分的。

數(shù)值實驗的局限性還表現(xiàn)在對計算工具有相應(yīng)的技術(shù)要求，如運算速度、存儲容量、機器字長、繪圖設(shè)備等，因而一些令人感興趣的數(shù)值實驗，如奇怪吸引子隨參數(shù)或初值變化的動態(tài)顯示，實施時仍有相當(dāng)困難。

數(shù)值實驗的有限性也是一種局限。除上述精度的有限性外，其實驗范圍也是有限的。當(dāng)數(shù)學(xué)模型中變量取值范圍為無限時，數(shù)值實驗便缺乏穩(wěn)固的基礎(chǔ)。例如數(shù)值實驗出現(xiàn)了混沌的時間歷程時，并無充分的理由排除這種非周期的時間歷程可能僅是某周期很長的周期時間歷程的一部分。數(shù)值實驗往往不得不假設(shè)在一定條件下，有限的部分能夠表明無限的整體的特征。

最后，數(shù)值實驗歸根結(jié)底是個案研究，它的結(jié)果實質(zhì)上是一種特定方程針對其特定參數(shù)和初、邊值條件的解。即使沒有上述諸局限，它也僅能證明一般性的理論結(jié)果，而不能證實。相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家對蘭福德等人發(fā)展的計算機輔助證明持保留態(tài)度并非全無道理。由此也可知，在數(shù)值實驗蓬勃發(fā)展的近20多年中，動態(tài)系統(tǒng)和奇異性等拓?fù)浜蛶缀蔚亩ㄐ岳碚撘灿兄卮筮M(jìn)展并廣泛應(yīng)用于各類具體問題，絕不僅是時間上的巧合，這恰是對數(shù)值實驗局限性的一種補救。

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