圖1　微帶線及其等效的平板波導模型

　　為了使該等效模型能反映高階模的效應(yīng)，在整個頻帶內(nèi)均適用，我們考慮了等效參數(shù)的色散效應(yīng)，動態(tài)等效介電常數(shù)εe(f)和等效寬度we(f)隨頻率變化的關(guān)系為［2］：

　(1)
　(2)

其中εeff和weff分別為靜態(tài)等效介電常數(shù)和等效寬度，fT是最低階模的截止頻率，定義為：

　(3)

式中c為自由空間的光速，Δw代表微帶邊緣的邊緣場效應(yīng).對于不同的寬高比w/h,Z0和εeff的表達式也不盡相同，本文采用Gupta的經(jīng)驗公式［3］計算Z0,εeff和Δw.靜態(tài)等效寬度weff可由下式確定：

　(4)

計算出fT、εeff和weff后，就可根據(jù)式(1)，(2)求出不同頻率時的εe(f)和we(f)，由此可將微帶線等效為相應(yīng)的平面波導模型.對于圖2所示的微帶型Rotman透鏡，其等效平板波導模型應(yīng)為原透鏡的相似形.當透鏡的形狀確定后，其所有端口的寬度就可以知道，利用前述方法可求出每個端口的等效寬度，再以這些等效端口寬度作為約束條件，并保持透鏡的中心不變且等效輪廓的每一段均平行于原透鏡的相應(yīng)段，求原透鏡的相似形就可得到滿足以上頻率色散效應(yīng)的等效平板波導模型的輪廓，以下的分析均是針對此等效模型進行的.

圖2　Rotman透鏡示意圖

三、多模式散射參數(shù)及高階模式的處理
　　如圖2所示，Rotman透鏡的輪廓由輸入端口(波束口)，輸出端口(陣列口)及虛端口三部分組成.由于介質(zhì)厚度非常小，可近似認為在垂直于導體表面的z方向場無變化，因此只有Ez,Hx和Hy三個分量不為零.由二維Hemholtz方程推得透鏡腔邊緣的電場分布可由下面的輪廓積分方程來描述［4，5］：

　(5)

其中H(2)0和H(2)1表示第二類零階和一階漢克爾函數(shù)，s和s′分別表示輪廓c上的場點和源點，r=r是從點s到s′的向量，是s′處的外法線方向，kd是介質(zhì)中的波數(shù).
　　由于透鏡形狀的任意性，須對式(5)中的圍線積分進行離散化處理.將透鏡輪廓分割為足夠多的N段，近似認為每一段為直線.令場點sm位于第m段上，源點s′n位于第n段上，根據(jù)式(5)，sm處的場可寫為：

　(6)

因為透鏡腔內(nèi)只有Ez,Hx,Hy三個分量不為零，因而在與其相連的平面波導中，只有TEp0(p=0,1,2,…)模式存在，用這些正交模式函數(shù)來表示端口上的場分布(即M個模式)：

　(7)

式中Akp和Bkp分別表示在第k個端口處入射和反射的p階模，Ykp和γkp分別為其模式導納和傳播常數(shù)，wk是第k個端口的寬度，εp為紐曼常數(shù)，當p=0(對應(yīng)TEM模)時，εp=1,p≠0時，εp=2.采用本地坐標系統(tǒng)分析各端口，則由式(7)可得下式：

　(8)

根據(jù)式(7)寫出Ez(sm)和Ez(s′n)的展開式，與式(8)一起代入式(6)可得：

　(9)

采用Galerkin法，取權(quán)函數(shù)，與上式兩邊取內(nèi)積，并化簡可得：

　(10)

其中：

　(11)
　(12)

當m≠n即場點和源點位于不同區(qū)域時，上兩式的二重積分可用數(shù)值積分法方便地求得，當m=n即場點和源點位置于同一區(qū)域時，Gmnij=0，而Fmnij出現(xiàn)奇異性，可用變量代換結(jié)合奇異點去除法巧妙求解［6］.
　　為了便于處理高階模，需將端口序號重新排列.令主模對應(yīng)的端口為1～N，高階模對應(yīng)的端口按模式由低到高從N+1至N×M編號，將式(10)中的求和交換次序，并寫成一矩陣方程，可得：

CB=DA　(13)

其中矩陣C和D的元素分別為：

Ckl=(Ynj)-1(γnjFmnij-kdGmnij),
Ckk=(Ynj)-1(γnjFmnij-kdGmnij)+j2/Ymi　(14)
Dkl=(Ynj)-1(γnjFmnij+kdGmnij),
Dkk=-j2/Ymi+(Ynj)-1(γnjFmnij+kdGmnij),
　　　k=1,2,…,N×M,l=1,2,…,N×M　(15)

A、B分別代表如下的列矢量：

A=［A10A20…AN0　A11…AN1…A1M-1…ANM-1］T　(16)
B=［B10B20…BN0　B11…BN1…B1M-1…BNM-1］T　(17)

其中Akp和Bkp分別表示第k個端口第p階模的入射波和反射波.解式(13)的矩陣方程可得Rotman透鏡的多模式散射矩陣：

S=C-1D　(18)

　　通常情況下，透鏡端口通過漸變線連接到只傳輸主模的傳輸線上，端口激勵起的高階模式的能量在漸變線內(nèi)不斷反射回透鏡腔，最終只有主模傳播.我們把這些凋落的高階模看作透鏡這個多端口網(wǎng)絡(luò)的加載.第m個端口的第i階模的特性阻抗Zm0i可用下式計算［7］：

　(19)

則第m個端口的第i階模對應(yīng)的負載反射系數(shù)為：

Γ(i-1)N+m=(Zm0i-Zm0)/(Zm0i+Zm0)　(20)

其中Zm0為相應(yīng)端口的等效平面波導的特性阻抗.設(shè)在所有N×M個端口中，主模對應(yīng)的第1～N個端口為Ⅰ區(qū)，其余(M-1)×N個高階模式對應(yīng)的端口N+1～N×M為第Ⅱ區(qū)，則由主模激勵，高階模加載的透鏡的單模散射矩陣［Sm］可由式(18)得到的多模式S矩陣的元素按下式求出［8］：

［Sm］=［SⅡ］+［SⅠ Ⅱ］{［Γ］-1-［SⅡ Ⅱ］}-1［SⅡ Ⅰ］　(21)

其中［Γ］為由高階模式端口N+1～N×M的負載反射系數(shù)組成的對角矩陣.

四、算例與討論
　　利用以上方法計算了圖3所示的32×32元Rotman透鏡，并與實驗結(jié)果做了對比.它有32個輸入端口，32個輸出端口和16個虛負載端口，焦角α=35°，掃描角β=45°，介電常數(shù)εr=2.2，基片厚度d=1mm.由于透鏡端口較多，我們只以最具代表性的邊緣波束口1和中心波束口16為例，給出透鏡在中間頻率f=12GHz下，這兩個端口激勵時輸出端口的幅度和相位分布，這些計算結(jié)果均是取4個展開模式函數(shù)得到的.

圖3　計算和實驗所用的32×32元Rotman透鏡

　　圖4(a)中方框線代表波束口1激勵時，實驗測得的輸出端口的幅度分布，圓圈線為理論計算的結(jié)果，圖4(b)為相應(yīng)的相位分布.圖5(a)和5(b)分別為中心波束口16激勵時，輸出端口的幅度和相位分布.由圖可見，邊緣端口的幅度起伏比較大，而中心端口的幅度較為平穩(wěn)，而無論對于邊緣端口還是中心端口，實驗結(jié)果與計算結(jié)果均吻合得很好，除個別點外，幅度誤差通常在0.5dB左右，相位誤差一般在十度以下，證明了本文方法的正確性和有效性.本例的透鏡由于焦角選擇得比較合適，因而雖然輸入端口較多，但相互之間的耦合很小，隔離較好，由表1給出的波束口1和16與其他波束口之間的隔離度即可看出這一點.

圖4　(a)輸入端口1激勵時輸出端口的幅度分布;(b)輸入端口1激勵時輸出端口的相位分布

圖5　(a)輸入端口16激勵時輸出端口的幅度分布；(b)輸入端口16激勵時輸出端口的相位分布

表1　輸入端口之間的隔離度