本文介紹數(shù)字預(yù)失真（DPD）的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及如何在收發(fā)器的微處理器和硬件中實(shí)現(xiàn)它。它解決了現(xiàn)代通信系統(tǒng)需要DPD的原因，并探討了數(shù)學(xué)模型如何捕獲真實(shí)世界的信號(hào)失真。

介紹

DPD 是許多 RF（射頻）工程師、信號(hào)處理愛(ài)好者和嵌入式軟件開(kāi)發(fā)人員熟悉的首字母縮略詞。DPD在我們的蜂窩通信系統(tǒng)中無(wú)處不在，使功率放大器（PA）能夠有效地為天線提供最大功率。隨著5G推動(dòng)基站的天線數(shù)量增加，我們的頻譜變得越來(lái)越擁擠，DPD已成為一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，允許開(kāi)發(fā)高效，具有成本效益和規(guī)范兼容的蜂窩系統(tǒng)。

我們中的許多人根據(jù)自己的觀點(diǎn)對(duì)DPD有獨(dú)特的理解，無(wú)論是從純數(shù)學(xué)角度還是從微處理器上更受約束的實(shí)現(xiàn)。也許您是一名評(píng)估RF基站產(chǎn)品中DPD性能的工程師，或者對(duì)數(shù)學(xué)建模技術(shù)如何在現(xiàn)實(shí)世界系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)感到好奇的算法開(kāi)發(fā)人員。本文旨在拓寬您的知識(shí)面，使您能夠從各個(gè)角度充分掌握該主題。

什么是DPD，為什么使用它？

當(dāng)RF信號(hào)從基站無(wú)線電輸出時(shí)（見(jiàn)圖1），在通過(guò)天線傳輸之前需要放大。射頻PA用于執(zhí)行此操作。在理想情況下，PA接受輸入信號(hào)并輸出與其輸入成比例的更高功率信號(hào)。它還以最節(jié)能的方式做到這一點(diǎn)，以便將提供給放大器的大部分直流電源轉(zhuǎn)換為信號(hào)輸出功率。

圖1.帶和不帶DPD的簡(jiǎn)化無(wú)線電結(jié)構(gòu)框圖。

然而，這不是一個(gè)理想的世界。PA由晶體管制成，晶體管是有源器件，本質(zhì)上是非線性的?，F(xiàn)在，如果我們?cè)赑A的“線性”區(qū)域使用PA（此處為線性是一個(gè)相對(duì)術(shù)語(yǔ);因此為引號(hào)），如圖2所示，則輸出功率與輸入功率相對(duì)成正比。這種方法的缺點(diǎn)是PA通常在非常低效的狀態(tài)下使用，提供的大部分功率都以熱量的形式損失。我們經(jīng)常希望在PA開(kāi)始?jí)嚎s時(shí)使用它們。這意味著，如果輸入信號(hào)增加設(shè)定量（例如3 dB），PA輸出不會(huì)增加相同的量（可能僅增加1 dB）。顯然，此時(shí)信號(hào)被放大器嚴(yán)重失真。

圖2.PA輸入功率與輸出功率的關(guān)系圖（顯示采樣輸入/輸出信號(hào)的投影）。

這種失真發(fā)生在頻域中的已知位置，具體取決于輸入信號(hào)。圖3顯示了這些位置以及基頻與這些失真產(chǎn)物之間的關(guān)系。在RF系統(tǒng)中，我們唯一需要補(bǔ)償?shù)氖д媸悄切┙咏ㄐ盘?hào)的失真，即奇階互調(diào)產(chǎn)物。系統(tǒng)中的濾波負(fù)責(zé)帶外產(chǎn)物（諧波甚至階次交調(diào)產(chǎn)物）。圖4顯示了RF PA在其壓縮點(diǎn)附近運(yùn)行的輸出。互調(diào)產(chǎn)物（尤其是三階）清晰可見(jiàn)。它們看起來(lái)像所需信號(hào)周?chē)摹叭棺印薄?/p>

圖3.2 音輸入的互調(diào)和諧波失真位置。

圖4.2× 20 MHz載波通過(guò)SKY66391-12射頻PA。中心頻率 = 1850 MHz。

DPD旨在通過(guò)觀察PA輸出來(lái)表征這種失真，并在知道所需的輸出信號(hào)后改變輸入信號(hào)，使PA輸出更接近理想值。這只有在相當(dāng)具體的情況下才能有效地完成。我們需要配置放大器和輸入信號(hào)，使放大器有所壓縮，但不會(huì)完全飽和。

PA 失真建模背后的數(shù)學(xué)原理

看到希臘字母和其他數(shù)學(xué)符號(hào)是否往往會(huì)帶來(lái)對(duì)過(guò)去大學(xué)考試的可怕閃回？你并不孤單！當(dāng)人們得到的第一個(gè)參考文獻(xiàn)是一篇數(shù)學(xué)繁重的學(xué)術(shù)論文時(shí)，人們可能會(huì)不必要地被基礎(chǔ)知識(shí)所推遲。論文“RF功率放大器數(shù)字預(yù)失真的廣義記憶多項(xiàng)式模型”1是一項(xiàng)開(kāi)創(chuàng)性的工作，介紹了廣泛采用的廣義記憶多項(xiàng)式 （GMP） 方法 DPD。如果您只是涉足信號(hào)處理方面的事情，那么介紹該主題可能會(huì)有點(diǎn)沉重。因此，作為開(kāi)始，讓我們嘗試分解GMP方法，并更直觀地理解數(shù)學(xué)正在做什么。

Volterra系列是DPD的數(shù)學(xué)支柱。它用于用內(nèi)存對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模。內(nèi)存只是意味著系統(tǒng)的當(dāng)前輸出可以依賴于當(dāng)前和過(guò)去的輸入。Volterra系列非常通用（因此功能強(qiáng)大），用于電氣工程以外的許多領(lǐng)域。對(duì)于PA DPD，Volterra系列可以精簡(jiǎn)，使其在實(shí)時(shí)數(shù)字系統(tǒng)中更具可實(shí)施性和穩(wěn)定性。GMP就是這樣一種瘦身的方法。

圖 5 描述了如何使用 GMP 對(duì) PA 的輸入 x 與其輸出 y 之間的關(guān)系進(jìn)行建模。您將看到等式的三個(gè)獨(dú)立求和塊彼此非常相似。讓我們專(zhuān)注于下面以紅色突出顯示的第一個(gè)。|x（。..）|k項(xiàng)稱為輸入信號(hào)的包絡(luò)，其中 k 是多項(xiàng)式階。l 將內(nèi)存整合到系統(tǒng)中。如果 L一個(gè)= {0，1，2}，則模型允許輸出 y藥品監(jiān)督管理總局（n） 取決于當(dāng)前輸入 x（n） 和過(guò)去的輸入 x（n – 1） 和 x（n – 2）。圖 6 檢查了多項(xiàng)式階數(shù) k 對(duì)樣本向量的影響。矢量x是單個(gè)20 MHz載波，繪制在復(fù)基帶上。通過(guò)去除內(nèi)存組件簡(jiǎn)化了GMP建模公式。x|x的圖|k與圖4中可見(jiàn)的真實(shí)失真有明顯的相似之處。

每個(gè)多項(xiàng)式階數(shù) （k） 和內(nèi)存滯后 （l） 都有一個(gè)相關(guān)的復(fù)權(quán)重 （a吉隆坡）。當(dāng)選擇了模型的復(fù)雜性（將包括k和l的值）時(shí)，有必要根據(jù)對(duì)已知輸入信號(hào)的PA輸出的實(shí)際觀察來(lái)求解這些權(quán)重。圖 7 將簡(jiǎn)化的方程轉(zhuǎn)換為矩陣形式。使用的數(shù)學(xué)符號(hào)允許對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)潔的表示。但是，對(duì)于DPD在數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)緩沖區(qū)上的實(shí)際實(shí)現(xiàn)，以矩陣表示法查看事物是最簡(jiǎn)單且更具代表性的。

讓我們簡(jiǎn)要看一下圖 6 中公式的第二行和第三行，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，忽略了它們。請(qǐng)注意，如果 m 設(shè)置為零，則這些行將與第一行相同。這些線路允許在包絡(luò)項(xiàng)和復(fù)基帶信號(hào)之間添加延遲（正和負(fù)）。這些稱為滯后和前導(dǎo)交叉項(xiàng)，可以顯著提高DPD的建模精度。它們?yōu)槲覀儑L試模擬放大器的行為提供了額外的自由度。請(qǐng)注意，Mb， Mc， Kb和 Kc不包含零;否則，我們將重復(fù)第一行中的術(shù)語(yǔ)。

圖5.用于模擬PA失真的GMP。1

圖6.階數(shù) （k） 對(duì)信號(hào) x 頻域中信號(hào)的影響圖。

圖7.將簡(jiǎn)化的公式轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)緩沖區(qū)上的矩陣運(yùn)算（更接近數(shù)字實(shí)現(xiàn)方式）。

那么我們?nèi)绾未_定模型的順序、記憶項(xiàng)的數(shù)量以及我們應(yīng)該添加哪些交叉項(xiàng)呢？這就是一定數(shù)量的“黑魔法”進(jìn)入事物的地方。在某種程度上，我們可以從我們對(duì)失真物理學(xué)的知識(shí)中獲得指導(dǎo)。放大器的類(lèi)型及其制造材料以及通過(guò)它播放的信號(hào)帶寬都會(huì)影響建模術(shù)語(yǔ)，并允許在該領(lǐng)域有經(jīng)驗(yàn)的工程師對(duì)應(yīng)該使用哪種模型進(jìn)行限制。但是，在此之上還涉及一定程度的試驗(yàn)和錯(cuò)誤。

從數(shù)學(xué)角度要解決的問(wèn)題的最后一個(gè)方面，既然有建模結(jié)構(gòu)可用，是如何求解加權(quán)系數(shù)。在實(shí)際場(chǎng)景中，傾向于求解上述模型的逆函數(shù)。事實(shí)證明，這些模型系數(shù)有一個(gè)很好的互惠性，因?yàn)橄嗤臋?quán)重可用于對(duì)捕獲的PA輸出矢量進(jìn)行后失真，以消除非線性，并對(duì)通過(guò)PA發(fā)送的傳輸信號(hào)進(jìn)行預(yù)失真，使PA輸出看起來(lái)盡可能線性。圖8顯示了如何進(jìn)行權(quán)重系數(shù)估計(jì)和預(yù)失真的框圖。

圖8.描述建模和預(yù)失真間接實(shí)現(xiàn)的框圖。

對(duì)于逆模型，將圖 7 中給出的矩陣方程交換，得到 X? = Yw。此處矩陣 Y 的形成方式與 X 在另一種情況下的形成方式相同，如圖 9 所示。對(duì)于此示例，已包含內(nèi)存項(xiàng)，并且已減少包含多項(xiàng)式階數(shù)。為了求解w，我們需要得到Y(jié)的逆，Y不是正方形的（它是一個(gè)高而細(xì)的矩陣），所以這是使用矩陣“偽逆”來(lái)實(shí)現(xiàn)的（見(jiàn)公式1）。這在最小二乘意義上求解了 w，也就是說(shuō)，它最小化了 X? 和 Yw 之間差的平方，這就是我們想要的！

這可以進(jìn)一步完善，以考慮到它正在具有不同信號(hào)的實(shí)時(shí)環(huán)境中應(yīng)用。在這里，系數(shù)通過(guò)從其先前的值更新來(lái)約束。μ 是一個(gè)介于 0 和 1 之間的常量值，用于控制每次迭代權(quán)重可以更改的程度。如果 μ = 1 且 w0= 0，則此方程立即恢復(fù)為基本最小二乘解。如果μ設(shè)置為小于 1 的值，則系數(shù)需要多次迭代才能收斂。

請(qǐng)注意，此處描述的建模和估計(jì)技術(shù)并不是執(zhí)行DPD的唯一方法。也可以使用基于動(dòng)態(tài)偏差減少 （DDR） 的建模等技術(shù)來(lái)代替或補(bǔ)充它。描述的用于求解系數(shù)的估計(jì)技術(shù)也可以通過(guò)多種方式完成。鑒于這是一篇短文而不是一本書(shū)，讓我們把它留在那里。

我們?nèi)绾卧谖⑻幚砥髦袑?shí)現(xiàn)這一點(diǎn)？

好的，數(shù)學(xué)已經(jīng)完全涵蓋了。下一個(gè)問(wèn)題是它如何應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的通信系統(tǒng)？它在數(shù)字基帶中實(shí)現(xiàn)，通常在微處理器或FPGA中實(shí)現(xiàn)。ADI公司的RadioVerse收發(fā)器產(chǎn)品（如ADRV902x系列）內(nèi)置微處理器內(nèi)核，其結(jié)構(gòu)經(jīng)過(guò)專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)，可輕松實(shí)現(xiàn)DPD。?

圖9.矩陣形式的逆接近方程。此處包含了一些內(nèi)存。

圖 10.具有一個(gè)記憶抽頭和一個(gè)三階交叉項(xiàng)元件的三階情況的預(yù)失真計(jì)算。

嵌入式軟件中的DPD實(shí)現(xiàn)有兩個(gè)不同的方面。第一個(gè)是DPD執(zhí)行器，它是實(shí)時(shí)執(zhí)行實(shí)時(shí)傳輸數(shù)據(jù)的預(yù)失真的地方，第二個(gè)是DPD自適應(yīng)引擎，它是根據(jù)PA輸出的觀察結(jié)果更新DPD系數(shù)的地方。

如何在微處理器或類(lèi)似處理器中實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)DPD和許多其他信號(hào)處理概念的關(guān)鍵是通過(guò)使用查找表（LUT）。LUT 允許用更簡(jiǎn)單的數(shù)組索引操作代替昂貴的運(yùn)行時(shí)計(jì)算。讓我們考慮DPD執(zhí)行器如何將預(yù)失真應(yīng)用于傳輸?shù)臄?shù)據(jù)樣本。符號(hào)如圖 8 所示，其中 u（n） 是要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)的原始樣本，x（n） 是預(yù)失真版本。圖 10 顯示了在給定場(chǎng)景中獲得一個(gè)預(yù)失真樣本所需的計(jì)算。這是一個(gè)相對(duì)有限的示例，最高多項(xiàng)式階數(shù)為三階，只有一個(gè)記憶抽頭和一個(gè)交叉項(xiàng)。即使對(duì)于這種情況，顯然也需要大量的乘法、冪和加法計(jì)算來(lái)獲得這一個(gè)數(shù)據(jù)樣本。

這就是LUT可以減輕實(shí)時(shí)計(jì)算負(fù)擔(dān)的地方。圖10可以改寫(xiě)為圖11，其中將在LUT中輸入的數(shù)據(jù)變得更加明顯。每個(gè)LUT都包含|u（n）|的大量可能值的公式中突出顯示的元素的結(jié)果。分辨率取決于可在可用硬件中實(shí)現(xiàn)的LUT的大小。電流輸入樣本的幅度根據(jù)LUT的分辨率進(jìn)行量化，并用作索引，以訪問(wèn)給定輸入的正確LUT元件。

圖 11.重新組合方程元素以顯示LUT的結(jié)構(gòu)。

圖12顯示了如何將LUT集成到我們示例案例的完整預(yù)分配執(zhí)行器實(shí)現(xiàn)中。請(qǐng)注意，這只是眾多可能實(shí)現(xiàn)中的一個(gè)。在保持相同輸出的同時(shí)可以進(jìn)行更改的一個(gè)例子是延遲元素 z–1，可以移動(dòng)到 LUT2 的右側(cè)。

圖 12.使用 LUT 可能實(shí)現(xiàn) DPD 的框圖。

自適應(yīng)引擎的任務(wù)是求解用于計(jì)算執(zhí)行器中LUT值的系數(shù)。這涉及求解方程1和2中描述的w向量。偽逆矩陣運(yùn)算，（YHY）-1YH，計(jì)算量很大。等式 1 可以改寫(xiě)為

如果 CYY= YHY 和 CYx= YHx，則等式 3 變?yōu)?/p>

CYY是一個(gè)方陣，可以分解為上三角矩陣L及其共軛轉(zhuǎn)置（CYY=LHL）使用喬列斯基分解。這允許我們通過(guò)引入一個(gè)虛擬變量 z 并求解它來(lái)求解 w，如下所示：

然后將這個(gè)虛擬變量替換回去以求解

因?yàn)長(zhǎng)和LH分別為上三角矩陣和下三角矩陣，公式5和公式6易于求解，計(jì)算費(fèi)用最低，得到w。每次運(yùn)行自適應(yīng)引擎并找到 w 的新值時(shí)，都需要更新執(zhí)行器 LUT 以反映它們。自適應(yīng)引擎可以根據(jù)對(duì)PA輸出的觀察或操作員對(duì)要傳輸?shù)男盘?hào)變化的了解，以設(shè)定的定期間隔或更不規(guī)則的間隔執(zhí)行。

在嵌入式系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)DPD需要大量的制衡，以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。傳輸?shù)臄?shù)據(jù)緩沖區(qū)和捕獲緩沖區(qū)數(shù)據(jù)在時(shí)間上對(duì)齊至關(guān)重要，以確保它們之間建立的數(shù)學(xué)關(guān)系是正確的，并且在隨著時(shí)間的推移應(yīng)用時(shí)成立。如果失去這種對(duì)齊，則自適應(yīng)引擎返回的系數(shù)將無(wú)法正確預(yù)扭曲系統(tǒng)，并可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。還應(yīng)檢查預(yù)失真的執(zhí)行器輸出，以確保信號(hào)不會(huì)使DAC飽和。

結(jié)論

希望本文通過(guò)檢查底層數(shù)學(xué)及其在硬件中的實(shí)現(xiàn)，解開(kāi)了DPD的一些謎團(tuán)。這只是這個(gè)迷人主題的冰山一角，可能會(huì)促使讀者進(jìn)一步研究信號(hào)處理技術(shù)在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用。Pratt和Kearney的研究是關(guān)于DPD應(yīng)用于有線通信系統(tǒng)中超寬帶寬用例的良好來(lái)源。2ADI公司的RadioVerse收發(fā)器產(chǎn)品具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，可集成DPD等算法，為客戶提供高度集成的RF硬件和可配置的軟件工具。

審核編輯：郭婷