同步 CFD 是 CFD 中一類新的工具，它幫助結(jié)構(gòu)工程師在三維結(jié)構(gòu) CAD 模型中仿真現(xiàn)今產(chǎn)品的流體流動和傳熱情況。對于三維仿真和分析而言，最重要的步驟就是網(wǎng)格和創(chuàng)建有效的網(wǎng)格系統(tǒng)。本文討論了為什么矩形自適應(yīng)網(wǎng)格是先進(jìn)技術(shù)，以及如何有效為新設(shè)計選擇網(wǎng)格，從而極大降低精確分析所需的時間，提高產(chǎn)品設(shè)計效率。

1網(wǎng)格的需要和選擇
1.1 為何首先需要一個網(wǎng)格系統(tǒng)？

在進(jìn)行任何 CFD 分析之前，考慮所需的網(wǎng)格系統(tǒng)是非常有必要的。

■ 所有的 CFD 分析都是建立在控制流體動力學(xué)現(xiàn)象的微分方程之上，這些微分方程有 Navier－Stokes 方程、能量守恒方程等。

■ 眾所周知，這些微分方程是無法獲得解析解的。（除非進(jìn)行大量的簡化）

■ 因此，只有采用“離散化”才能進(jìn)行求解。

■ 通過在整個分析區(qū)域上覆蓋一個虛擬的網(wǎng)格系統(tǒng)的方式，將所考慮的區(qū)域劃分成許多小的體積或單元格。

€€ 對小體積內(nèi)和小體積之間所考慮特性的變量（速度、壓力和溫度等）進(jìn)行假設(shè)。

€€因此可以推導(dǎo)得出這些微分控制方程的近似形式（也就是所謂的有限體積法），只要這個體積足夠小，這一體積內(nèi)的控制方程就足夠有效，從而在整個區(qū)域內(nèi)的控制方程也足夠有效。

€€最后通過迭代的方式求解這些代數(shù)方程，從而獲得相應(yīng)的結(jié)果。

很明顯：

■ 網(wǎng)格劃分是最終獲得控制微分方程合理精確解的一種方法。

■ 所選擇的網(wǎng)格大小和細(xì)密程度對求解的精確度有很大影響。

■ 網(wǎng)格系統(tǒng)類型的選擇，網(wǎng)格的形狀和排列可以是任意的。只要定義的網(wǎng)格能方便可靠的獲取精確結(jié)果，這一網(wǎng)格就是良好的網(wǎng)格。

然而，這一“只要”字眼是非常重要的限定。經(jīng)驗(yàn)表明，對于任何實(shí)際應(yīng)用，為 CFD 計算選擇網(wǎng)格系統(tǒng)時，必須考慮以下影響因數(shù)：

■ 定義問題和以后做相應(yīng)修改所需的時間。

■ 易于獲得良好、精確結(jié)果。

■ 解的強(qiáng)壯性和可靠性

■ 計算速度和存儲

這就是為什么 CFD 計算網(wǎng)格系統(tǒng)的選擇是一項(xiàng)重要的工作。

1.2 網(wǎng)格系統(tǒng)如何進(jìn)行選擇？

在用于 CFD 分析的網(wǎng)格系統(tǒng)選擇時有兩個非常重要的方面：

(1)網(wǎng)格的形狀，主要的選擇有：

■ 笛卡兒€€€€立方體網(wǎng)格，并且網(wǎng)格面與笛卡兒坐標(biāo)系中的 X、Y、Z 軸相平行。

■ 六面體€€€€六面體網(wǎng)格，是笛卡兒網(wǎng)格的某種扭曲，可以是“笛卡兒網(wǎng)格拓補(bǔ)”（也就是類似笛卡兒網(wǎng)格，但是網(wǎng)格被扭曲）或者“適體網(wǎng)格”（通過扭曲笛卡兒網(wǎng)格，使其很好的與物體的表面貼合）

■ 四面體€€€€四個面的網(wǎng)格，例如三棱錐形網(wǎng)格

(2)網(wǎng)格的排列，主要的選擇有：

■ 結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格€€€€網(wǎng)格中節(jié)點(diǎn)排列有序，鄰點(diǎn)間的關(guān)系明確。

■ 非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格€€€€節(jié)點(diǎn)位置無法用一個固定的法則予以有序的命名。

■ 部分非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（partially unstructured）€€€€在某一區(qū)域內(nèi)結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格與其它結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格以某種方式結(jié)合的網(wǎng)格。并非所有的網(wǎng)格形狀與網(wǎng)格排列都具有現(xiàn)實(shí)意義。最為常用的網(wǎng)格如下：

■ 笛卡兒€€€€無論是結(jié)構(gòu)化還是部分結(jié)構(gòu)化都被廣泛的應(yīng)用到 CFD 的諸多領(lǐng)域。

■ 六面體網(wǎng)格€€€€結(jié)構(gòu)化和部分結(jié)構(gòu)化（經(jīng)常用于“適體”）常用于“空氣動力學(xué)”方面的應(yīng)用（燃?xì)廨啓C(jī)葉片、機(jī)翼、流線型物體），這主要是因?yàn)榭梢詫⒕W(wǎng)格很好的貼合在物體表面。

■ 完全非結(jié)構(gòu)化六面體和四面體網(wǎng)格€€€€最初被用于有限元（而不是有限體積法）的 CFD 分析，現(xiàn)在被廣泛的用于有限體積法，通常是棱柱或棱錐形式。

這些網(wǎng)格如后一頁所示：

下面利用笛卡兒網(wǎng)格對正交網(wǎng)格進(jìn)行進(jìn)一步的說明。嚴(yán)格來說，許多對笛卡兒網(wǎng)格所作的注解也可以應(yīng)用于“正交”網(wǎng)格，那就是網(wǎng)格線與正交坐標(biāo)軸方向?qū)R，其中坐標(biāo)軸互相成 90 度角。在實(shí)際使用中，笛卡兒網(wǎng)格最常用見的正交網(wǎng)格。

基于圓柱坐標(biāo)系的正交網(wǎng)格也比較常見，但是使用并不普遍。此外，笛卡兒網(wǎng)格比其它非正交有更多的優(yōu)勢，我們會在以后的章節(jié)中做進(jìn)一步的討論。

這一白皮書中考慮了諸多可以選擇的網(wǎng)格形狀和排列。但主要集中在第一和第三兩種網(wǎng)格。也就是笛卡兒網(wǎng)格和完全非結(jié)構(gòu)化（六面體和四面體）網(wǎng)格。第二種網(wǎng)格（結(jié)構(gòu)化四面體－適體網(wǎng)格）是一種介于以上兩者之間的方法，僅僅適用于空氣動力學(xué)的應(yīng)用。

2影響網(wǎng)格系統(tǒng)選擇的因數(shù)和需要考慮的事項(xiàng)
2.1 網(wǎng)格形狀對于網(wǎng)格質(zhì)量的影響

為什么，笛卡兒網(wǎng)格形狀成為許多應(yīng)用場合的首選？

■ 可以方便的在笛卡兒參考系中對控制方程進(jìn)行推導(dǎo)和明確的表達(dá)。

■ 求解的速度分量幾乎總是和笛卡兒參考系坐標(biāo)方向?qū)R。

笛卡爾網(wǎng)格比非正交網(wǎng)格具有更高的網(wǎng)格質(zhì)量。與笛卡兒網(wǎng)格差異（也就是更大角度的扭曲）越大的非正交網(wǎng)格，其網(wǎng)格質(zhì)量方面的“降低”也越明顯。

網(wǎng)格質(zhì)量是進(jìn)行 CFD 分析時，選擇網(wǎng)格系統(tǒng)所著重考慮的方面。網(wǎng)格形狀（特別是正交性網(wǎng)格的扭曲）對于有限體積法微分方程推導(dǎo)假設(shè)和求解結(jié)果方法有很大的影響。

附錄 1 對最核心的問題進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。其中考慮了有限體積方程中的兩個典型項(xiàng)，它們描述了穿過網(wǎng)格面的擴(kuò)散通量以及作為某一方向上速度源的壓力梯度。

對高度非正交網(wǎng)格中的這兩項(xiàng)推導(dǎo)進(jìn)行了推導(dǎo)。最需要注意的一點(diǎn)是，非正交網(wǎng)格會比笛卡兒網(wǎng)格多產(chǎn)生一個“二次”項(xiàng)。附錄 1 考慮了兩維的情況，對于每一種考慮的方法僅僅出現(xiàn)了兩項(xiàng)。然而，在完全三維的情況中，對于非正交網(wǎng)格的推導(dǎo)會比笛卡兒網(wǎng)格產(chǎn)生幾倍的“二次”項(xiàng)。

這些”二次”項(xiàng)的出現(xiàn)會產(chǎn)生很多后果：

■ 更多的計算時間€€€€”二次”項(xiàng)的計算需要耗費(fèi)更多的計算時間。由于需要很多項(xiàng)將非正交網(wǎng)格描述成類似笛卡兒網(wǎng)格，所以可能需要幾倍的時間，并且由于計算在求解的過程中迭代進(jìn)行，所以對時間的影響很大。

■ 更多的存儲空間€€€€這可能是最主要的影響。通常情況下都要對關(guān)于每一個非正交網(wǎng)格主要幾何參數(shù)進(jìn)行存儲（而不是連續(xù)的進(jìn)行計算）。這就是為什么非結(jié)構(gòu)化的六面體或四面體網(wǎng)格比笛卡兒網(wǎng)格需要更多的計算存儲空間。實(shí)際上在大型復(fù)雜計算的過程中，這已成為這種方法（非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格）使用的限制。

■ 降低精度和減少迭代求解的強(qiáng)壯性€€€€為了計算這些”二次”項(xiàng)引入了輔助的“cross-linkages”。也就是說不是僅僅兩個位置的溫度被用于熱流的計算，遠(yuǎn)處其它位置的溫度也會被用于熱流的計算。這會有兩個后果：

(1)引入額外的錯誤€€€€這就意味著，在所有其它條件相同的情況下，高度非正交網(wǎng)格要比正交網(wǎng)格的計算精度低。換而言之，要實(shí)現(xiàn)相同的數(shù)值計算精度，非正交網(wǎng)格比正交網(wǎng)格需要更細(xì)密。

(2)第二個影響方面是有限體積方程系統(tǒng)的收斂穩(wěn)定性。由于在迭代計算過程中幾乎無法直接處理”二次”項(xiàng)，所以使它們具有很大的主導(dǎo)性，從而使迭代求解的可靠性變差，可能會出現(xiàn)不可靠的收斂或發(fā)散。

這些非正交網(wǎng)格的缺點(diǎn)會隨著網(wǎng)格扭曲（非正交性）的增大而變得更明顯。所以其結(jié)果嚴(yán)重的依賴于實(shí)際的應(yīng)用問題。至此，非正交網(wǎng)格的不利影響已經(jīng)被闡述，并且很好被了解。

這就是為什么：

■ CFD 的使用者盡可能的要采用笛卡兒網(wǎng)格系統(tǒng)，或其它的正交網(wǎng)格系統(tǒng)。

■ 非正交網(wǎng)格系統(tǒng)的用戶被要求去阻止差質(zhì)量網(wǎng)格的產(chǎn)生，通常需要對自動生成的網(wǎng)格進(jìn)行手動的“調(diào)整”，這成為整個 CFD 分析過程中最為耗時的工作。

2.2 非矩形幾何體的描述

如果笛卡兒網(wǎng)格的優(yōu)點(diǎn)是那么明顯，那么 CFD 的使用者為何還要使用非正交網(wǎng)格。

這主要是由于復(fù)雜系統(tǒng)的需要，特別是那些非矩形的固體邊界。

正是由于這個原因，非正交網(wǎng)格系統(tǒng)在機(jī)翼等物理外形的貼合方面具有很大的優(yōu)勢，它可以使網(wǎng)格面與物理邊界很好的貼合。

然而，在過去十年出現(xiàn)了一些不錯的新方法。其中就采用笛卡兒網(wǎng)格，并且非矩形固體形狀可以以任意形式穿過網(wǎng)格。在網(wǎng)格中出現(xiàn)的固體采用合適的“cut-cell”技術(shù)進(jìn)行描述。

這種方法的優(yōu)點(diǎn)：

■ 可以確保良好的網(wǎng)格質(zhì)量，具體的方面先前已經(jīng)闡述

■ 可以避免在自動生成網(wǎng)格之后，再進(jìn)行手動調(diào)整

■ 對于耦合熱交換問題，包擴(kuò)固體區(qū)域內(nèi)存在流動的導(dǎo)熱和流體的熱交換（常出現(xiàn)在電子散熱領(lǐng)域），由于需要進(jìn)行耦合求解，很自然網(wǎng)格系統(tǒng)會覆蓋流體和固體區(qū)域。

對于復(fù)雜幾何外形地問題有不少相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。以下引用了四個相關(guān)地例子：

1Patankar 和其同事

Patankar 和其同事所做地工作

上圖證明了使用具有流體/固體網(wǎng)格描述的笛卡兒網(wǎng)格所獲得結(jié)果的精度。將通過圓柱體（Re＝26）的繞流流動與實(shí)驗(yàn)流動結(jié)果進(jìn)行了比較，并且與具有相同網(wǎng)格密度的非正交適體網(wǎng)格所得結(jié)果進(jìn)行了比較。

兩種網(wǎng)格的計算結(jié)果均與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。通過一些其它的“簡單”測試，可以得到相同的結(jié)論，采用“Cutcell”技術(shù)的笛卡兒網(wǎng)格可以與復(fù)雜的非正交適體網(wǎng)格獲得一樣好的計算結(jié)果。

2Spalding 和其同事（參考 3）

Spalding 和其同事所做地工作（參考 3）

上圖表明置于風(fēng)洞中的汽車周圍是湍流流動。在這個例子中，笛卡兒網(wǎng)格被嵌套，也稱之為部分非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（后續(xù)章節(jié)會討論）

所得到的重要結(jié)論是：通過笛卡兒網(wǎng)格所獲得汽車表面壓力變化的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量值相一致。盡管這里沒有顯示其它網(wǎng)格系統(tǒng)的結(jié)果，但是笛卡兒網(wǎng)格的結(jié)果足以和其它更復(fù)雜的適體網(wǎng)格結(jié)果相媲美。

3NASA Ames 的工作（參考 4 和參考 5 ）

NASA Ames 的工作,主要是飛機(jī)和飛行器外部的空氣動力學(xué)

上圖展示了部分非結(jié)構(gòu)化笛卡兒網(wǎng)格（octree-structured）在軍事直升機(jī)空氣動力學(xué)方面的應(yīng)用（參考4）。這一網(wǎng)格系統(tǒng)也被用于NASA Ames 機(jī)翼、整個飛機(jī)機(jī)身和航空器周圍的流動計算。

NASA Ames 還利用嵌套的笛卡兒網(wǎng)格（參考“overset structured grids”）對機(jī)身周圍和后部的流動進(jìn)行計算（參考 5）。

采用這類基于笛卡兒網(wǎng)格的技術(shù)可以方便的（相對而言）生成網(wǎng)格，并且與非正交的網(wǎng)格系統(tǒng)相比在數(shù)值計算方面更具優(yōu)勢。

4劍橋大學(xué)的工作（參考 6）

Dawes 教授的論文回顧了葉輪機(jī)械的 CFD 仿真，著重關(guān)注了具有特殊幾何形狀的應(yīng)用問題。葉輪機(jī)械流動是仿真模擬方面的一個很大挑戰(zhàn)。早期的葉輪機(jī)械仿真采用結(jié)構(gòu)化的六面體網(wǎng)格。但這限制了葉輪方面 CFD 進(jìn)入到“適體”網(wǎng)格的發(fā)展，現(xiàn)今諸多通用型 CFD 軟件采用“適體”網(wǎng)格。 Dawes 教授認(rèn)為這阻礙了 CFD 軟件的使用，并且由于生成網(wǎng)格時間的原因限制了 CFD 在設(shè)計方面的使用。網(wǎng)格生成的轉(zhuǎn)變勢在必行，應(yīng)該對復(fù)雜幾何模型采用轉(zhuǎn)變的方式，而不是直接進(jìn)行處理。

Dawes 教授介紹了在計算機(jī)圖形方面的最新進(jìn)展。 Level set 技術(shù)被用于精確的描述使用 3D 距離場的多曲線面，將有正負(fù)號的距離存儲到最近的笛卡兒網(wǎng)格表面。如下圖一個圍繞葉片的外部流動所示，這一網(wǎng)格可以直接用于流動的求解。

Dawes 教授通過改變?nèi)~片上孔的例子來說明當(dāng)幾何模型改變時，只改變了孔處的局部網(wǎng)格。

簡而言之，從以上這些例子和其它的研究均表明：

■ 使用合適的 cut-cell 技術(shù)，對于復(fù)雜的非矩形幾何體而言，笛卡兒網(wǎng)格可以獲得與復(fù)雜非笛卡兒網(wǎng)格相類似的仿真結(jié)果。

■ 對于這類問題使用笛卡兒網(wǎng)格可以簡化問題的定義，并且可以確保解的強(qiáng)壯性，因此可以提高用戶的生產(chǎn)力和優(yōu)化使用計算機(jī)資源。